Элементарные функции и их графики


I. Линейная функция:
y = kx + b - прямая

k = tgα - угловой коэффициент, численно равен tg угла наклона графика функции к положительному направлению оси x.

b - свободный член

(0; b) - точка пересечения графика функции с осью ординат (y)

 Т.к. через 2 точки можно провести 1 прямую, то для построения графика линейной функции достаточно взять 2 произвольных значения переменной X, подставив их в формулу функции вычесть Y, отметить их на координатной плоскости и провести через них прямую

 y = kx - прямая, частный случай линейной функции, график всегда проходит через начало координат.

Прямые на плоскости могут пересекаться (частный случай: быть перпендикулярными), быть параллельными или совпадать.

y1 = k1x + b1    k1 = kили k1 ≠ kили k= -1/k2

y2 = k2x + b2    y1 || y2 или y1  yили y1  y2

Если угловые коэффициенты линейных функций равны, то их графики параллельны

Если угловые  коэффициенты не равны, то графики пересекаются.

Если графики линейных функций перпендикулярны, то их угловые коэффициенты являются взаимно обратными числами с разными знаками.

ax + by = с - общее ( каноническое) уравнение прямой н плоскости.

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 - прямые совпадают

II. Степенная функция:

y = x2 - квадратная парабола

D(y) = R - область определения. Вся числовая прямая, т.е. x∈(-∞;+∞)

E(y)=[0;+∞) - множество значений функции

 y = x3 - кубическая парабола

 y = k/x или y = kx-1 - обратная пропорциональность. Частный случай степенной функции.

x≠0 - гипербола, состоящая из двух ветвей.

k - коэффициент пропорциональности. К - любое действительно число.

D(y) = (-∞;0) U (0;+∞)

E(y) = (-∞;0) U (0;+∞)

y = √x или y = x1/2 - частный случай степенной функции (параболы)

D(y) = [0;+∞)

E(y) = [0;+∞)

y = ax2 + bx + с - квадратичная функция (парабола). Частный случай степенной функции.

a > 0 - ветви вверх у параболы.

a < 0 - ветви вниз.

xв = -b/2a - абсцисса вершины.

yв = axв2 + bxв + с - ордината вершины.

Парабола симметрична относительно прямой, проходящей через вершину параболы и параллельной оси y.

Алгоритм построения графика квадратичной функции:

  1. Тип графика и направление ветвей.
  2. Найти координаты вершины параболы.
  3. Составить таблицу для значения аргумента (x).
  4. Заполнить значения аргумента, увеличивая на 1 от вершины вправо и уменьшая влево.
  5. Заполнить в таблице значения y.
  6. Отметить полученные точки на координатной плоскости и соединить плавной кривой.

III. Окружность: (x - a)2 + (y - b)2 = R2

 (a;b) - центр; R - радиус

 x2 + y2 = R2 - уравнение окружности с центром в начале координат.

Просмотров: 2463